如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，103）三点，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．（1）求抛物线的解析式；（2）当点E（x

Question

如图，抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，(10)/(3)）三点，设点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，四边形OEBF是以OB为对角线的平行四边形．

（1）求抛物线的解析式；
（2）当点E（x，y）运动时，试求平行四边形OEBF的面积S与x之间的函数关系式，并求出面积S的最大值？
（3）是否存在这样的点E，使平行四边形OEBF为正方形？若存在，求E点，F点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）设所求抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线经过点A（1，0），B（5，0），C（0，(10)/(3)）三点，则由题意可得：

a+b+c＝0

25a+5b+c＝0

c＝(10)/(3)

，解得

a＝(2)/(3)

b＝−4

c＝(10)/(3)

．
∴所求抛物线的解析式为：y=(2)/(3)x²-4x+(10)/(3)．

（2）∵点E（x，y）是抛物线上一动点，且在x轴下方，
∴y＜0，
即-y＞0，-y表示点E到OA的距离．
∵OB是平行四边形OEBF的对角线，
∴S=2S_△OBE=2×(1)/(2)×OB•|y|=-5y=-5（(2)/(3)x²-4x+(10)/(3)）=-(10)/(3)x²+20x-(50)/(3)，
∵S=-(10)/(3)（x-3）²+(40)/(3)
∴S与x之间的函数关系式为：S=-(10)/(3)x²+20x-(50)/(3)（1＜x＜5），S的最大值为(40)/(3)．

（3）∵当OB⊥EF，且OB=EF时，平行四边形OEBF是正方形，
∴此时点E坐标只能（(5)/(2)，-(5)/(2)），而坐标为（(5)/(2)，-(5)/(2)）点在抛物线上，
∴存在点E（(5)/(2)，-(5)/(2)），使平行四边形OEBF为正方形，
此时点F坐标为（(5)/(2)，(5)/(2)）．