实变函数问题：设E为R*R中可列集,试构造E的一个分解E=A并B,使得平行于x轴的直线与A的交点为有限个使得平行于y轴的直线与B的交点为有限个.

Question

实变函数问题：设E为R*R中可列集,试构造E的一个分解E=A并B,使得平行于x轴的直线与A的交点为有限个
使得平行于y轴的直线与B的交点为有限个.

Answer 1

不妨设E中元素的所有横坐标和纵坐标都是可列集.
若对于横坐标c,所对应的纵坐标集{di}是有限集,则将所有这些点(c,di)分入B.
若对于纵坐标d,所对应的横坐标集{ci}是有限集,则将所有这些点(ci,d)分入A.
设剩下点的横坐标集为{ai}(i=1,∞),的纵坐标集为{bi}(i=1,∞)
则将{(aj,bk)(k=1,j)(j=1,∞)}分入B
将{(aj,bk)(j=1,k-1)(k=2,∞)}分入A
则这样的A,B即为所求.