如图，二次函数y=-x2+px+q的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），顶点M在第一象限，∠ABC=30°．（1）求点A、B的坐标和二次函数的关系式；（2）设直线y=3x-9与y轴的交点是D，在线段BC

Question

如图，二次函数y=-x²+px+q的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，3），顶点M在第一象限，∠ABC=30°．
（1）求点A、B的坐标和二次函数的关系式；
（2）设直线y=√(3)x-9与y轴的交点是D，在线段BC上任取一点E（不与B、C重合），经过A、B、E三点的圆交直线BD于点F，
①试判断△AEF的形状，并说明理由；
②设BF=m，m的取值范围是多少？（直接写出，无需过程）．

Answer 1

（1）∵图象与y轴交于点C（0，3），
∴CO=3，即q=3，
∵∠ABC=30°，
∴tan30°=(CO)/(OB)，
∴BO=3√(3)，
∴B点坐标为：（3√(3)，0）
代入解析式得：0=-27+3√(3)p+3，
解得：p=(8)/(3)√(3)，
∴二次函数的关系式为：y=-x²+(8)/(3)√(3)x+3；
∴0=-x²+(8)/(3)√(3)x+3；
解得：x₁=3√(3)，x₂=-

作业帮用户 2017-10-02 举报

问题解析

（1）利用图象以及得出∠ABC=30°，得出B点坐标，进而求出二次函数解析式即可；
（2）①结合已知画出图象，进而利用圆周角定理以及锐角三角函数知识求出即可；
②利用最短时AF⊥BF，以及最长时BF为直径，可据图分析求出取值范围即可．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式；直角三角形的性质．

考点点评：

此题主要考查了二次函数的综合应用以及垂径定理和圆周角定理，根据已知得出∠AFE=∠ABC=30°，∠AEF=∠ABD=60°是解题关键．

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