（2014•海口一模）如图，经过原点的抛物线y=-x2-2mx（m＞1）与x轴的另一个交点为A．过点P（-1，m）作直线PD⊥x轴于点D，交抛物线于点B，BC∥x轴交抛物线于点C．（1）当m=2时．①求线段BC的长

Question

（2014•海口一模）如图，经过原点的抛物线y=-x²-2mx（m＞1）与x轴的另一个交点为A．过点P（-1，m）作直线PD⊥x轴于点D，交抛物线于点B，BC∥x轴交抛物线于点C．

（1）当m=2时．
①求线段BC的长及直线AB所对应的函数关系式；
②若动点Q在直线AB上方的抛物线上运动，求点Q在何处时，△QAB的面积最大？
③若点F在坐标轴上，且PF=PC，请直接写出符合条件的点F在坐标；
（2）当m＞1时，连接CA、CP，问m为何值时，CA⊥CP？

Answer 1

（1）①当m=2时，y=-x²-4x，
令y=0，得-x²-4x=0，
解得x₁=0，x₂=-4，
则A（-4，0）．
当x=-1时，y=3，
则B（-1，3）．
∵抛物线y=-x²-4x的对称轴为直线x=-2，
∴B、C两点关于对称轴x=-2对称，
∴C（-3，3），BC=2．     
设直线AB所对应的函数关系式为y=kx+b．
∵A（-4，0）、B（-1，3）在直线AB上，
∴

 0＝−4k+b 

 3＝−k+b .

，
解得

 k＝1 

 b＝4 .

∴直线AB所对应的函数关系式为y=x+4；
②过点Q作QE∥y轴，交AB于点E（如图1）．
由题意可设Q（a，-a²-4a），则E（a，a+4），
∴QE=（-a²-4a）-（a+4）=-a²-5a-4．
∴S_△QAB=(1)/(2)QE•AD
=(1)/(2)×（-a²-5a-4）×3
=-(3)/(2)（a+(5)/(2)）²+(27)/(8)，
∴当a=−(5)/(2)时，△QAB的面积最大，此时Q的坐标为（−(5)/(2)，(15)/(4)）；
③分两种情况：
若点F在x轴上，设F（x，0）．
∵PF=PC，P（-1，2），C（-3，3），
∴（x+1）²+（2-0）²=（-3+1）²+（3-2）²，
整理，得x²+2x=0，
解得x₁=-2，x₂=0，
∴F₁（-2，0），F₂（0，0）；
若点F在y轴上，设F（0，y）．
∵PF=PC，P（-1，2），C（-3，3），
∴（0+1）²+（y-2）²=（-3+1）²+（3-2）²，
整理，得y²-4y=0，
解得y₁=4，y₂=0，
∴F₃（0，4），F₄（0，0）与F₂（0，0）重合；
综上所述，符合条件的点F坐标为F₁（-2，0），F₂（0，0），F₃（0，4）；

（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图2）．
∵P（-1，m），B（-1，2m-1），
∴PB=m-1．
∵抛物线y=-x²-2mx的对称轴为直线x=-m，其中m＞1，
∴B、C两点关于对称轴x=-m对称，
∴BC=2（m-1），
∴C（1-2m，2m-1），H（1-2m，0），
∴CH=2m-1，
∵A（-2m，0），