（2014•荆州）如图，已知点A是双曲线y=2x在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但

Question

（2014•荆州）如图，已知点A是双曲线y=(2)/(x)在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线y=(k)/(x)（k＜0）上运动，则k的值是______．

Answer 1

∵双曲线y=(2)/(x)关于原点对称，
∴点A与点B关于原点对称．
∴OA=OB．
连接OC，如图所示．
∵△ABC是等边三角形，OA=OB，
∴OC⊥AB．∠BAC=60°．
∴tan∠OAC=(OC)/(OA)=√(3)．
∴OC=√(3)OA．
过点A作AE⊥y轴，垂足为E，
过点C作CF⊥y轴，垂足为F，
∵AE⊥OE，CF⊥OF，OC⊥OA，
∴∠AEO=∠OFC，∠AOE=90°-∠FOC=∠OCF．
∴△AEO∽△OFC．
∴(AE)/(OF)=(EO)/(FC)=(AO)/(OC)．
∵OC=√(3)OA，
∴OF=√(3)AE，FC=√(3)EO．
设点A坐标为（a，b），
∵点A在第一象限，
∴AE=a，OE=b．
∴OF=√(3)AE=√(3)a，FC=√(3)EO=

作业帮用户 2016-12-08

问题解析

连接OC，易证AO⊥OC，OC=√(3)OA．由∠AOC=90°想到构造K型相似，过点A作AE⊥y轴，垂足为E，过点C作CF⊥y轴，垂足为F，可证△AEO∽△OFC．从而得到OF=√(3)AE，FC=√(3)EO..设点A坐标为（a，b）则ab=2，可得FC•OF=6．设点C坐标为（x，y），从而有FC•OF=-xy=-6，即k=xy=-6．

名师点评

本题考点：

反比例函数图象上点的坐标特征；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质；特殊角的三角函数值．

考点点评：

本题考查了等边三角形的性质、反比例函数的性质、相似三角形的判定与性质、点与坐标之间的关系、特殊角的三角函数值等知识，有一定的难度．由∠AOC=90°联想到构造K型相似是解答本题的关键．

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