已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪(1,32)∪(32
已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).
(1)试讨论f(x)的单调性;
(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪(1,)∪(,+∞),求c的值.
答案和解析
(1)∵f(x)=x
3+ax
2+b,
∴f′(x)=3x
2+2ax,
令f′(x)=0,可得x=0或-
.
a=0时,f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
a>0时,x∈(-∞,-)∪(0,+∞)时,f′(x)>0,x∈(-,0)时,f′(x)<0,
∴函数f(x)在(-∞,-),(0,+∞)上单调递增,在(-,0)上单调递减;
a<0时,x∈(-∞,0)∪(-,+∞)时,f′(x)>0,x∈(0,-)时,f′(x)<0,
∴函数f(x)在(-∞,0),(-,+∞)上单调递增,在(0,-)上单调递减;
(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f(-)=a3+b,
则函数f(x)有三个不同的零点等价于f(0)>0,且f(-)<0,
∴b>0且a3+b<0,
∵b=c-a,
∴a>0时,a3-a+c>0或a<0时,a3-a+c<0.
设g(a)=a3-a+c,
∵函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪(1,)∪(,+∞),
∴在(-∞,-3)上,g(a)<0且在(1,)∪(,+∞)上g(a)>0均恒成立,
∴g(-3)=c-1≤0,且g()=c-1≥0,
∴c=1,
此时f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a],
∵函数有三个零点,
∴x2+(a-1)x+1-a=0有两个异于-1的不等实根,
∴△=(a-1)2-4(1-a)>0,且(-1)2-(a-1)+1-a≠0,
解得a∈(-∞,-3)∪(1,)∪(,+∞),
综上c=1.
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