早教吧 育儿知识 作业答案 考试题库 百科 知识分享

已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).(1)试讨论f(x)的单调性;(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪(1,32)∪(32

题目详情
已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).
(1)试讨论f(x)的单调性;
(2)若b=c-a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪(1,
3
2
)∪(
3
2
,+∞),求c的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵f(x)=x3+ax2+b,
∴f′(x)=3x2+2ax,
令f′(x)=0,可得x=0或-
2a
3

a=0时,f′(x)>0,∴f(x)在(-∞,+∞)上单调递增;
a>0时,x∈(-∞,-
2a
3
)∪(0,+∞)时,f′(x)>0,x∈(-
2a
3
,0)时,f′(x)<0,
∴函数f(x)在(-∞,-
2a
3
),(0,+∞)上单调递增,在(-
2a
3
,0)上单调递减;
a<0时,x∈(-∞,0)∪(-
2a
3
,+∞)时,f′(x)>0,x∈(0,-
2a
3
)时,f′(x)<0,
∴函数f(x)在(-∞,0),(-
2a
3
,+∞)上单调递增,在(0,-
2a
3
)上单调递减;
(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f(-
2a
3
)=
4
27
a3+b,
则函数f(x)有三个不同的零点等价于f(0)>0,且f(-
2a
3
)<0,
∴b>0且
4
27
a3+b<0,
∵b=c-a,
∴a>0时,
4
27
a3-a+c>0或a<0时,
4
27
a3-a+c<0.
设g(a)=
4
27
a3-a+c,
∵函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(-∞,-3)∪(1,
3
2
)∪(
3
2
,+∞),
∴在(-∞,-3)上,g(a)<0且在(1,
3
2
)∪(
3
2
,+∞)上g(a)>0均恒成立,
∴g(-3)=c-1≤0,且g(
3
2
)=c-1≥0,
∴c=1,
此时f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a],
∵函数有三个零点,
∴x2+(a-1)x+1-a=0有两个异于-1的不等实根,
∴△=(a-1)2-4(1-a)>0,且(-1)2-(a-1)+1-a≠0,
解得a∈(-∞,-3)∪(1,
3
2
)∪(
3
2
,+∞),
综上c=1.