如图，⊙O1和⊙O2外切于点A，BC是⊙O1和⊙O2的外公切线，B、C为切点．AT为内公切线，AT与BC相交于点T．延长BA、CA，分别与两圆交于点E、F．（1）求证：AB•AC=AE•AF；（2）若AT=2，⊙O1与⊙O2的

Question

如图，⊙O₁和⊙O₂外切于点A，BC是⊙O₁和⊙O₂的外公切线，B、C为切点．AT为内公切线，AT与BC相交于点T．延长BA、CA，分别与两圆交于点E、F．
（1）求证：AB•AC=AE•AF；
（2）若AT=2，⊙O₁与⊙O₂的半径之比为1：3，求AE的长．

Answer 1

（1）证明：连接BF、CE；
∵TA是两圆的公切线，
∴∠TAB=∠BFA，∠NAE=∠ACE；
∵∠TAB=∠NAE，
∴∠BFA=∠ACE；
∴BF∥CE；
∴△BAF∽△EAC；
∴(AB)/(AE)＝(AF)/(AC)，即AB•AC=AE•AF；

（2）连接O₁O₂，过O₁作O₁M⊥EC于M；
∵TA、BC都是两圆的切线，
∴TB=TA=TC，即△BAC是Rt△，且∠BAC=90°；
∴∠BAF=∠CAE=90°；
∴BF、EC分别是两圆的直径；
设⊙₁的半径为R，则⊙O₂的半径为3R；
Rt△O₁O₂M中，O₁O₂=R+3R=4R，O₂M=3R-R=2R；
∴∠O₁O₂M=60°，O₁O₂=O₁M÷sin60°；
∵O₁M=BC=2TA=4，则O₁O₂=(8√(3))/(3)；
∴O₂A=2√(3)；
Rt△EAC中，EC=2O₂A=4√(3)，∠E=(1)/(2)∠O₁O₂M=30°；
∴AE=EC•cos30°=6．