已知函数f（x）=ax2+bx+xlnx在（1，f（1）））处的切线方程为3x-y-2=0（Ⅰ）求实数a、b的值（Ⅱ）设g（x）=x2-x，若k∈Z，且k（x-2）<f（x）-g（x）对任意的x>2恒成立，求k的最大值．

Question

已知函数f（x）=ax²+bx+xlnx在（1，f（1）））处的切线方程为3x-y-2=0
（Ⅰ）求实数a、b的值
（Ⅱ）设g（x）=x²-x，若k∈Z，且k（x-2）<f（x）-g（x）对任意的x>2恒成立，求k的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）=2ax+b+lnx，
故2a+b+1=3且a+b=1，解得：a=1，b=0；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：k<(f(x)-g(x))/(x-2)=(x+xlnx)/(x-2)对任意x>2恒成立，
设h（x）=(x+xlnx)/(x-2)（x>2），则h′（x）=(x-4-2lnx)/((x-2)2)，
令m（x）=x-4-2lnx，（x>2），则m′（x）=1-(2)/(x)=(x-2)/(x)>0，
故函数m（x）为（2，+∞）上的增函数，
∵m（8）=4-2ln8<0，m（10）=6-2ln10>0，
故m（x）在（8，10）上有唯一零点x₀，即x₀-4-2lnx₀=0成立，
故x₀-4-2lnx₀=0，
当2<x<x₀时，m（x）<0，即h′（x）<0，
x₀<x时，m（x）>0，即h′（x）>0，
故h（x）在（1，x₀）递减，在（x₀，+∞）递增，
故h（x）_min=h（x₀）=(x0(1+(x0-4)/(2)))/(x0-1)=(x0)/(2)，
故k<(x0)/(2)，∵x₀∈（8，10），∴(x0)/(2)∈（4，5），
∵k∈Z，
故k的最大值是4．