已知抛物线y=-x^2+2,过其上一点P引抛物线的切线L使L与两坐标在第一向限围成的三角形面积最小求切线L的切线

Question

已知抛物线y=-x^2+2,过其上一点P引抛物线的切线L使L与两坐标在第一向限围成的三角形面积最小求切线L的切线

Answer 1

设切点P为（a,-a^2+2),将这个y=-x^2+2求导有y的导数=-2x,所以切线的斜率为
k=-2a,故设切线为y=-2ax+2+a^2,由于所围成的三角形在第一象限,所以a＞0,
x轴,y轴的截距分别是（a^2+2)/2a,2+a^2,
则三角形的面积=1/2*（a^2+2)/2a*（2+a^2）=（a^2+2)^2/(4a).要对这个函数取最小值,先求导,得到（3a^4+4a^2-4)/(4a^2),有零点a=√6/3,
故函数f(x)=（a^2+2)^2/(4a).在当a∈（0,√6/3）时,单调递减,
在（√6/3,+∞）,单调递增.故在当a=√6/3时有最小值,
∴切线为y=-2√6/3x+8/3.