已知函数f(x)＝13x3−2x2+3x（x∈R）的图象为曲线C．（1）求过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围；（2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取

Question

已知函数f(x)＝(1)/(3)x3−2x2+3x（x∈R）的图象为曲线C．
（1）求过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围；
（2）若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围；
（3）证明：不存在与曲线C同时切于两个不同点的直线．

Answer 1

（1）f′（x）=x²-4x+3，
则f′（x）=（x-2）²-1≥-1，
即过曲线C上任意一点的切线斜率的取值范围是[-1，+∞）；
（2）由（1）可知，

k≥−1

−(1)/(k)≥ −1

解得-1≤k＜0或k≥1，
由-1≤x²-4x+3＜0或x²-4x+3≥1
得：x∈(−∞，2−√(2)]∪(1，3)∪[2+√(2)，+∞]；
（3）设存在过点A（x₁，y₁）的切线曲线C同时切于两点，另一切点为B（x₂，y₂），x₁≠x₂
，则切线方程是：y-( (1)/(3)x13−2x12+3x1)=（x₁²-4x₁+3）（x-x₁），
化简得：y=（x₁²-4x₁+3）x+(−(2)/(3)x13+2x12)
而过B（x₂，y₂）的切线方程是y=（x₂²-4x₂+3）x+(−(2)/(3)x23+2x22)，
由于两切线是同一直线，
则有：x₁²-4x₁+3=x₂²-4x₂+3，得x₁+x₂=4，
又由−(2)/(3)x13+2x12=−(2)/(3)x23+2x22，
即-(2)/(3)(x1−x2)(x12+x1x2+x22)+2（x₁-x₂）（x₁+x₂）=0
-(1)/(3)(x12+x1x2+x22)+4＝0，即x₁（x₁+x₂）+x₂²-12=0
即（4-x₂）×4+x₂²-12=0×4+x₂²-12=0，x₂²-4x₂+4=0
得x₂=2，但当x₂=2时，由x₁+x₂=4得x₁=2，这与x₁≠x₂矛盾．
所以不存在一条直线与曲线C同时切于两点．