已知函数f(x)=x-mlnx-m-1x(m∈R)，g(x)=12x2+ex-xex，（1）当x∈[1，e]，求f（x）的最小值，（2）当m≤2时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意x2∈[-2，0]，f（x1）≤g（x2）成立，求实数m的取值范围．

Question

已知函数f(x)=x-mlnx-(m-1)/(x)(m∈R)，g(x)=(1)/(2)x2+ex-xex，
（1）当x∈[1，e]，求f（x）的最小值，
（2）当m≤2时，若存在x1∈[e，e2]，使得对任意x₂∈[-2，0]，f（x₁）≤g（x₂）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）f(x)=x-mlnx-(m-1)/(x)(x>0)，∴f′(x)=1-(m)/(x)+(m-1)/(x2)=((x-1)[x-(m-1)])/(x2)，
当m≤2时，f（x）在x∈[1，e]上f'（x）≥0，f（x）_min=f（1）=2-m，
当m≥e+1时，f（x）在[1，e]上f'（x）≤0，f(x)min=f(e)=e-m-(m-1)/(e)，
当2<m<e+1时，f（x）在x∈[1，m-1]上f'（x）≤0，x∈[m-1，e]上f'（x）≥0，f（x）_min=f（m-1）=m-2-mln（m-1），
（2）已知等价于f（x₁）_min≤g（x₂）_min，
由（1）知m≤2时f（x）在x∈[e，e²]上f′(x)≥0，f(x)min=f(e)=e-m-(m-1)/(e)，
而g'（x）=x+e^x-（x+1）e^x=x（1-e^x），
当x₂∈[-2，0]，g'（x₂）≤0，g（x₂）_min=g（0）=1，
所以m≤2，e-m-(m-1)/(e)≤1，
所以实数m的取值范围是[(e2-e+1)/(e+1)，2]．