如图，⊙O与直线l相离，OA⊥l于点A，OA交⊙O于点C，过点A作⊙O的切线AB，切点为B，连接BC交直线l于点D（1）求证：AB=AD；（2）若tan∠OCB=2，⊙O的半径为3，求BD的长．

Question

如图，⊙O与直线l相离，OA⊥l于点A，OA交⊙O于点C，过点A作⊙O的切线AB，切点为B，连接BC交直线l于点D

（1）求证：AB=AD；
（2）若tan∠OCB=2，⊙O的半径为3，求BD的长．

Answer 1

（1）证明：连接OB．
∵AB是⊙O的切线，OA⊥l，
∴∠OBA=∠OAD=90°，
又OB=OC，
∴∠OBC=∠COB=∠ACD，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD；

（2）∵tan∠OCB=tan∠ACD=(AD)/(AC)=2，⊙O的半径是3，
设AC=a，则AB=AD=2a，
在Rt△AOB中，OA²=AB²+OB²，
∴（a+3）²=（2a）²+3²，
∴a=2．
过点A作AE⊥BD，则BD=BE=(8√(5))/(5)，
∴BD=(16√(5))/(5)．