在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．线段CQ的延长线交射线BM于点D，连接AD．（1）若α=60°且点P与点M重合（如图1），求证四边

Question

在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．线段CQ的延长线交射线BM于点D，连接AD．

（1）若α=60°且点P与点M重合（如图1），求证四边形ABCD为菱形；
（2）在图2中，点P不与点B，M重合，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ=QD，请直接写出α的范围．

Answer 1

（1）∵BA=BC，∠BAC=60°，
∴AB=BC=AC，∠ABC=60°，
∵M为AC的中点，
∴MB⊥AC，∠CBM=30°，AM=MC，
∴QM=MC，
∴∠MCQ＝(1)/(2)∠AMQ＝60°，
∴∠CDM=30°=∠CBM，
∴CB=DC=BA，
∴DC=BA，DC∥BA，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵BA=BC，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）∠CDB=90°-α，证明如下：
连接PC，

由（1）得BM垂直平分AC，
∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，
又∵PQ=PA，
∴PQ=PC=PA，
∴Q，C，A在以P为圆心，PA为半径的圆上，
∴∠ACQ＝(1)/(2)∠APQ＝α，
∴∠BAC=∠ACD，
∴DC∥BA，
∴∠CDB=∠ABD=90°-α；
（3）∵∠CDB=90°-α，且PQ=QD，
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，
∵点P不与点B，M重合，
∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，
∴2α＞180°-2α＞α，
∴45°＜α＜60°．