如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是射线CB上一点，F是CD上一点，且∠EAF=120°．（1）如图1，求证：AEAF=ABCF；（2）如图2，若△CEF的面积为23，求AB的长；（3）如图3，求证：BF∥DE．

Question

如图，菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是射线CB上一点，F是CD上一点，且∠EAF=120°．
（1）如图1，求证：(AE)/(AF)=(AB)/(CF)；
（2）如图2，若△CEF的面积为2√(3)，求AB的长；
（3）如图3，求证：BF∥DE．

Answer 1

（1）如图1，连接AC，
∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，
∴∠D=60°，△ACB是等边三角形，
∴∠BAC=60°，
∵∠EAF=120°，
∴∠EAB=∠DAF，
∵∠EAC=60°+∠EAB，∠AFC=60°+∠DAF，
∴∠EAC=∠AFC，
∵∠ACE=∠ACF=60°，
∴△ACE∽△CAF，
∴(AE)/(AF)=(AC)/(CF)，
∵AB=AC，
∴(AE)/(AF)=(AB)/(CF)；

（2）由（1）知(AC)/(CF)=(CE)/(AC)，
∴AC²=CE•CF，
如图2，过F作FM⊥CE于M交EC的延长线于M，
可得FM=(√(3))/(2)CF，
∵△CEF的面积为2√(3)，
即(1)/(2)CE•FM=(1)/(2)CE•(√(3))/(2)CF=2√(3)，
∴CE•CF=8，
即AC²=AB²=8，
∴AB=2√(2)；

（3）由（1）有(AC)/(CF)=(CE)/(AC)，
易知AC=AB=BC=CD，
∴(CD)/(CF)=(CE)/(BC)，
即(CF)/(CD)=(CB)/(CE)，
∵∠BCF=∠ECD，
∴△CBF∽△CED，
∴∠CBF=∠CED，
∴BF∥ED．