在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A（3，0）、B（0，3）．（1）求一次函数的解析式：（2）若点P在该函数图象上，P到x轴、y轴的距离分别为d1，d2，求d1-d2的取值范

Question

在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A（3，0）、B（0，3）．
（1）求一次函数的解析式：
（2）若点P在该函数图象上，P到x轴、y轴的距离分别为d₁，d₂，求d₁-d₂的取值范围；
（3）在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x轴上的顶点坐标．

Answer 1

（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
将点A（3，0）、B（0，3）代入y=kx+b中，
得：

0=3k+b

3=b

，解得：

k=-1

b=3

，
∴直线AB的解析式为y=-x+3．
（2）设点P的坐标为（m，-m+3），
∴d₁=|m|，d₂=|-m+3|，
∴d₁-d₂=|m|-|-m+3|．
当m<0时，-m+3>0，
d₁-d₂=|m|-|-m+3|=-m-（-m+3）=3；
当0≤m≤3时，-m+3≥0，
d₁-d₂=|m|-|-m+3|=m-（-m+3）=2m-3，
∵0≤m≤3，
∴-3≤d₁-d₂≤3；
当3<m时，-m+3<0，
d₁-d₂=|m|-|-m+3|=m-（m-3）=3．
综上可知：当点P在该函数图象上时，P到x轴、y轴的距离分别为d₁，d₂，则d₁-d₂的取值范围为-3≤d₁-d₂≤3．
（3）分两种情况：
①如图1，当点O为正方形的一个顶点时，
∵OA=OB，
∴∠BAO=45°，
∵CD⊥OA，
∴CD=AD．
∵四边形ODCE是正方形，
∴OD=CD，
∴OD=AD，
∴OD=(1)/(2)OA=(3)/(2)，
∴落在x轴上的顶点（0，0），（(3)/(2)，0）；
②如图2，当正方形的两个顶点落在线段AB上时，
∵∠BAO=∠ABO=45°，
∴△AFE和△BGN均为等腰直角三角形，
∴BN=GN，AM=FM，
∵四边形FMNG为正方形，
∴AM=MN=BN，
∴AM=(1)/(3)AB=(1)/(3)√(32+32)=√(2)，AF=√(2+2)=2．
∵OA=3，
∴OF=3-2=1，
∴落在x轴上的顶点F（1，0）．
综上可知：正方形落在x轴上的顶点坐标为（0，0）、（(3)/(2)，0）和（1，0）．