函数f（x）=x2+mln（x+1）．（1）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；（2）若m=-1，试比较当x∈（0，+∞）时，f（x）与x3的大小；（3）证明：对任意的正整数n，不等式e0+e

Question

函数f（x）=x²+mln（x+1）．
（1）若函数f（x）是定义域上的单调函数，求实数m的取值范围；
（2）若m=-1，试比较当x∈（0，+∞）时，f（x）与x³的大小；
（3）证明：对任意的正整数n，不等式e⁰+e^-1×4+e^-2×9+…+e (1-n)n2<(n(n+3))/(2)成立．

Answer 1

（1）根据题意，由f′(x)=2x+(m)/(x+1)=(2x2+2x+m)/(x+1)，
可知f′（x）≥0或f′（x）≤0在（-1，+∞）上恒成立．
下面分两种情况讨论：
①当f′（x）=(2x2+2x+m)/(x+1)≥0在（-1，+∞）上恒成立时，
有m≥-2x2-2x=-2(x+(1)/(2))2+(1)/(2)在（-1，+∞）上恒成立，故m≥(1)/(2)；
②当f′（x）=(2x2+2x+m)/(x+1)≤0在（-1，+∞）上恒成立时，
有m≤-2x2-2x=-2(x+(1)/(2))2+(1)/(2)在（-1，+∞）上恒成立．
∵-2(x+(1)/(2))2+(1)/(2)在（-1，+∞）上没有最小值，
∴不存在实数m使f′（x）<0在（-1，+∞）上恒成立．
综上所述，实数m的取值范围是[(1)/(2)，+∞）；
（2）当m=-1时，即函数f（x）=x²-ln（x+1）．
令g（x）=f（x）-x³=-x³+x²-ln（x+1），
则g′(x)=-3x2+2x-(1)/(x+1)=-(3x3+(x-1)2)/(x+1)，
显然，当x∈（0，+∞）时，g′（x）<0，即函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，
又因为g（0）=0，所以当x∈（0，+∞）时，恒有g（x）<g（0）=0，
即f（x）-x³<0恒成立，故当x∈（0，+∞）时，有f（x）<x³．
（3）由（2）可知x²-x³<ln（x+1）（x∈（0，+∞）），
所以ex2-x3<eln(x+1)，即e(1-x)x2<x+1（x∈（0，+∞）），
当x取自然数时，有e(1-n)n2<n+1（n∈N^*），
所以e⁰+e^-1×4+e^-2×9+…+e (1-n)n2
<（1+1）+（2+1）+（3+1）+…+（n+1）
=1×n+1+2+3+4+…+n
=n+(n(n+1))/(2)
=(n(n+3))/(2)．