已知某二次函数的图象与x轴分别相交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴相交于C（0，-3m）（m>0），顶点为点D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；（2）如图①，当m

Question

已知某二次函数的图象与x轴分别相交于点A（-3，0）和点B（1，0），与y轴相交于C（0，-3m）（m>0），顶点为点D．
（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）；
（2）如图①，当m=2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值；
（3）如图②，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？

Answer 1

（1）∵二次函数的图象与x轴分别相交于点A（-3，0）和点B（1，0），
∴设该二次函数的解析式为y=a（x+3）（x-1），
∵该二次函数与y轴相交于C（0，-3m），
∴-3a=-3m，
∴a=m，
∴设该二次函数的解析式为y=m（x+3）（x-1）=mx²+2mx-3m．

（2）如图1中，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点F，

当m=2时，点C的坐标为（0，-6），该二次函数的解析式为y=2x²+4x-6，
∵点A（-3，0），点C的坐标为（0，-6），
∴直线AC的解析式为y=-2x-6，
∵点P为第三象限内抛物线上的一个动点且点P的横坐标为x（-3∴点P的坐标为（x，2x²+4x-6），点E的坐标为（x，0），点F的坐标为（x，-2x-6），
S=(1)/(2)×3×（PE-PF）=(3)/(2)[（-2X-6）-（2x²+4x-6）]=-3（x+(3)/(2)）²+(27)/(4)，
∵-3<0，
∴当x=-(3)/(2)时，S有最大值(27)/(4)；

（3）如图2中，

∵y=m（x+3）（x-1）=m（x²+2x-3）=m（x+1）²-4m，
∴点D的坐标为（-1，-4m），
∴AC²=（-3-0）²+（3m）²=9+9m²，
AD²=（-3+1）²+（4m）²=4+16m²，
CD²=（1）²+（-3m+4m）²=1+m²，
∵△OBC是直角三角形，
∴欲使得以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似，
∴△ACD必须是直角三角形，
①当∠ACD=90°时，∵AC²+CD²=AD²，
∴9+9m²+1+m²=4+16m²，
解得m=±1，
∵m>0，
∴m=1，
此时(AC)/(CD)=3，(CO)/(OB)=3，
∴(AC)/(CD)=(CO)/(OB)，∵∠ACD=∠COB=90°，
∴△ACD∽△COB，符合题意．
②当∠ADC=90°，则AD²+CD²=AC²，
即4+16m²+1+m²=9+9m²，
解得：m=±(√(2))/(2)，∵m>0，
∴m=(√(2))/(2)
此时，(AD)/(CD)=2√(2)，(CO)/(OB)=(3)/(2)√(作业帮用户2017-09-21扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)