如图在正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为2（1）设侧棱长为1，求证AB1⊥BC1；（2）设AB1与BC1成600角，求侧棱长．

Question

如图在 正三棱柱ABC-A₁ B₁ C₁中，底面边长为√(2)
（1）设侧棱长为1，求证A B₁⊥B C₁；
（2）设A B₁与B C₁成60⁰角，求侧棱长．

Answer 1

（1）取BC中点D，连接AD，B₁D，
由正三棱锥ABC-A₁B₁C₁，得面ABC⊥面BCC₁B₁．
又D为三角形ABC的边BC的中点，故
AD⊥BC，于是AD⊥面BCC₁B₁
在矩形BCC₁B₁中，BC=√(2)，BB₁=1，
于是Rt△CBC₁与Rt△BB₁D相似，
∠CBC₁=∠BB₁D，BC₁⊥DB₁
得AB₁⊥BC₁（7分）
（2）
取BC₁的中点D，AC的中点E，连DE，则DE∥AB₁，∠EDB即为A B₁与B C₁成60⁰角，
∴∠EDB=60°，在等边三角形EDB中，BD=BE=(√(6))/(2)，
∴BC₁=2BD=√(6)，⇒BB₁=√(6−2)=2
∴侧棱长为2（14分）