已知函数f(x)=ax2+bx+c中,a+b+c=0,a＞b＞c.(1)证明函数f(x)有两个不同的零点;(2)若存在x∈R,使ax2+bx+c=0成立.①试判断f(x-3)的符号,并说明理由;②当b≠0时,证明关于x的方程ax2+bx+c=0在区间(c/a)和在(0,1)内

Question

已知函数f(x)=ax2+bx+c中,a+b+c=0,a＞b＞c.(1)证明函数f(x)有两个不同的零点;(2)若存在x∈R,使ax2+bx+c=0成立.①试判断f(x-3)的符号,并说明理由;②当b≠0时,证明关于x的方程ax2+bx+c=0在区间(c/a)和在(0,1)内各有一个实根.

Answer 1

1）Δ=b²-4ac=（-a-c）²-4ac=（a-c）²
因为a＞c即a-c＞0
所以Δ＞0
所以有两个不同零点.
2）先设f（x）=ax²+bx+c 令f（x）=0 b=-a-c 有ax²-ax-cx+c=0 即x（ax-c）-（ax-c）=（x-1）（ax-c）=0 所以f（x）的两根分别为c/a和1
那么两根的距离=1-c/a＜2 （因为c＜a） 所以f（x-3）则比另一个零点距此零点更远所以f（x-3）b>c,a+b+c=0所以abc中一定有正有负,因为a,最大所以a＞0）,所以平移后两根向内收缩（可以动手画下图）
因为c最小所以c