端点上上不连续也能用牛顿莱布尼茨公式牛顿莱布尼茨公式不是首先就要求被积函数要连续吗,那为什么函数在端点处不连续也能用啊?例如一个分段函数在端点处不连续,还有一个函数在端点

Question

端点上上不连续也能用牛顿莱布尼茨公式
牛顿莱布尼茨公式不是首先就要求被积函数要连续吗,那为什么函数在端点处不连续也能用啊?例如一个分段函数在端点处不连续,还有一个函数在端点处趋向无穷大,书上都直接运用了此公式?

Answer 1

首先,这三个条件都必须要求f有界,f有界是Riemann可积的必要条件.第二,f在某一点的邻域内无界,这不是Riemann可积,这是广义可积,或者叫反常可积.这种情况下Newton－Leibniz公式仍然成立.比如f在（a,b]上反常可积,a是瑕点,F在(a b]上是f的原函数,且F在a点连续（实际上就是当x趋于a时limF(x)存在）,仍然有：积分（从a到b）f(x)dx=F(b)-F(a).Newton－Leibniz公式都是要求原函数在端点的连续性,不是要求被积函数的连续性