如图1，⊙O的半径为5，弦AB=8．（1）求点O到AB的距离OM的长；（2）P点是劣弧AB上的动点（与点A、B不重合），作?APBQ，如图2，求PQ的最小值；（3）P点是优弧AB上的动点（与点A、B不重合

Question

如图1，⊙O的半径为5，弦AB=8．
（1）求点O到AB的距离OM的长；
（2）P点是劣弧AB上的动点（与点A、B不重合），作?APBQ，如图2，求PQ的最小值；
（3）P点是优弧AB上的动点（与点A、B不重合），作?APBQ，如图3，求PQ的最大值．

Answer 1

考点：
圆的综合题
专题：
计算题
分析：
（1）连接OA，作OM⊥AB于M，如图1，根据垂径定理得AM=12AB=4，然后在Rt△OAM中，根据勾股定理计算OM=3；（2）由于AM=BM，根据平行四边形的性质，M点为平行四边形APBQ的对角线的交点，则PM=MQ，所以当P点到M点的距离最小时，PQ最小，而P点为OM的延长线与⊙O的交点时，PM最小，如图2，易得PM=2，于是得到PQ的最小值为4；（3）由于AM=BM，根据平行四边形的性质，M点为平行四边形APBQ的对角线的交点，则PM=MQ，所以当P点到M点的距离最大时，PQ最大，而P点为MO的延长线与⊙O的交点时，PM最大，如图3，易得PM=8，于是得到PQ的最大值为16．

（1）连接OA，作OM⊥AB于M，如图1，∵OM⊥AB，∴AM=BM=12AB=12×8=4，在Rt△OAM中，∵OA=5，AM=4，∴OM=OA2-AM2=3，即点O到AB的距离OM的长为3；（2）∵四边形APBQ为平行四边形，而AM=BM，∴PM=MQ，∴当P点到M点的距离最小时，PQ最小，此时P点为OM的延长线与⊙O的交点，如图2，∵OM=3，∴PM=2，∴PQ=2PM=4，即PQ的最小值为4；（3）∵四边形APBQ为平行四边形，而AM=BM，∴PM=MQ，∴当P点到M点的距离最大时，PQ最大，此时P点为MO的延长线与⊙O的交点，如图3，∵OM=3，∴PM=OM+OP=8，∴PQ=2PM=16即PQ的最大值为16．
点评：
本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和平行四边形的性质；会运用勾股定理计算线段的长．