如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与O的交点，连接AF．（1）求证：CB是O的切线；（2）若∠ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积．

Question

如图，在△BCE中，点A是边BE上一点，以AB为直径的 O与CE相切于点D，AD∥OC，点F为OC与 O的交点，连接AF．

（1）求证：CB是 O的切线；
（2）若∠ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：连接OD，与AF相交于点G，
∵CE与 O相切于点D，
∴OD⊥CE，
∴∠CDO=90°，
∵AD∥OC，
∴∠ADO=∠1，∠DAO=∠2，
∵OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∴∠1=∠2，
在△CDO和△CBO中，

CO=CO

∠1=∠2

OD=OB

，
∴△CDO≌△CBO，
∴∠CBO=∠CDO=90°，
∴CB是 O的切线．
（2）由（1）可知∠3=∠BCO，∠1=∠2，
∵∠ECB=60°，
∴∠3=(1)/(2)∠ECB=30°，
∴∠1=∠2=60°，
∴∠4=60°，
∵OA=OD，
∴△OAD是等边三角形，
∴AD=OD=OF，∵∠1=∠ADO，
在△ADG和△FOG中，

∠1=∠ADG

∠FGO=∠AGD

AD=OF

，
∴△ADG≌△FOG，
∴S_△ADG=S_△FOG，
∵AB=6，
∴ O的半径r=3，
∴S_阴=S_扇形ODF=(60π•32)/(360)=(3)/(2)π．