证明：若向量OA,向量OB,向量OC的终点ABC共线,则存在实数a,b且a+b=1,使得向量OC=a向量OA+b向量OB；反之也成立

Question

证明：若向量OA,向量OB,向量OC的终点ABC共线,则存在实数a,b且a+b=1,使得向量OC=a向量OA+b向量OB；反之也成立

Answer 1

这题还少个说明,就是点A跟B不能重合,不然那样的实数a跟b可不一定存在.
在A跟B不重合的情况下可以唯一作一条直线AB,于是有下面的证明.
（必要性）因为C在直线AB上,存在实数a使得：向量BC=a向量BA,于是
向量OC=向量OB+向量BC=向量OB+a(向量OA-向量OB)=a向量OA+(1-a)向量OB
（充分性）反之,假如存在实数a使得：向量OC=a向量OA+(1-a)向量OB ,因为
向量BC=向量OC-向量OB=a(向量OA-向量OB)=a向量BA,
可见向量BC与向量BA共线,C在直线AB上.