已知a>b>c求证a-b分之一加b-a分之一加a-c分之一大于0已知a>b>c求证:a-b分之一加b-c分之一加c-a分之一大于o

Question

已知a>b>c 求证a-b分之一加b-a分之一加a-c分之一大于0
已知a>b>c
求证:a-b分之一加b-c分之一加c-a分之一大于o

Answer 1

1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)
=[(b-c)(c-a)+(a-b)(c-a)+(a-b)(b-c)]/(a-b)(b-c)(c-a)
=[bc-ba-c²+ca+ac-a²-bc+ab+ab-ac-b²+bc]/(a-b)(b-c)(c-a)
=[-(a²-ab+b²-ac+c²-bc)]/[-(a-b)(b-c)(a-c)]
=[2(a²-ab+b²-ac+c²-bc)]/[2(a-b)(b-c)(a-c)]
=[2a²-2ab+2b²-2ac+2c²-2bc]/[2(a-b)(b-c)(a-c)]
=[(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²]/[2(a-b)(b-c)(a-c)]
∵a>b>c
∴a-b>0,b-c>0,a-c>0,(a-b)²>0,(b-c)²>0,(a-c)²>0
∴(a-b)(b-c)(a-c)>0,(a-b)²+(b-c)²+(a-c)²>0
∴1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0