已知：∠AOB=90°，OA=OB=4，P、M、N分别是OB、OA、AB上的动点，且∠MPN=90°，PM：PN=3：2，求△PMN周长的最小值．

Question

已知：∠AOB=90°，OA=OB=4，P、M、N分别是OB、OA、

AB

上的动点，且∠MPN=90°，PM：PN=3：2，求△PMN周长的最小值．

Answer 1

如图取PM中点K，连接OK、KN、ON．
设PM=3k，PN=2k，
在RT△PNK中，∵∠KPN=90°，PK=(3)/(2)k，PN=2k，
∴KN=√(PK2+PN2)=(5)/(2)k，
在RT△POM中，∵∠POM=90°，KM=KP，
∴OK=(1)/(2)PM=(3)/(2)k，
∵OK+KN≥ON，
∴(3)/(2)k+(5)/(2)k≥4，
∴k≥1，
∴k=1时，△PMN周长最小，
此时PM=3，PN=2，MN=√(PM2+PN2)=√(32+22)=√(13)．
∴△PMN周长最小值为5+√(13)．