这是哪的中考题?如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.（1）求抛物线的解析式.（2）P是抛物线上一动点,过P作PM垂直于x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P

Question

这是哪的中考题?如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.
如图,抛物线经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.
（1）求抛物线的解析式.
（2）P是抛物线上一动点,过P作PM垂直于x轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A,P,M为顶点的三角形与三角形OAC相似?
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得三角形DCA面积最大,求出点D的坐标.

Answer 1

(1)设y=a(x-1)(x-4),即y=ax^2-5ax+4a,
当x=0时,y=4a=-2,即a=-1/2,所以：
　　　y=-(1/2)x^2+(5/2)x-2.
(2)点D(5/2,9/8)
四边形ADBC的面积=三角形ABD的面积＋三角形ABC的面积
＝3*(9/8)/2+3*2/2=75/16.
(3)若存在,则 AM/OC=PM/OA 或者 AM/OA=PM/OC,
即:AM/2=PM/4 或者 AM/4=PM/2,
设M(t,0),则x=t时,|PM|=|-(1/2)t^2+(5/2)t-2|,
|AM|=|t-4|,且t不等于0且t不等于4,否则P与A或C重合.
[P与C重合时,两个三角形也重合为一个三角形]
第一种:AM/2=PM/4 ==>|PM|=2|AM|
-(1/2)t^2+(5/2)t-2=2t-8 或 -(1/2)t^2+(5/2)t-2=8-2t
==>t=-3或t=4 或者 t=4或t=5===>t=-3或t=5,即此时两解;
第二种:AM/4=PM/2===>2|PM|=|AM|
-t^2+5t-4=t-4 或者 -t^2+5t-4=4-t
==>t=0或t=4 或者 t=2或t=4===>t=2,即此时一解;
综上所述,共有三种情形:P(-3,1);P(5,-2);P(2,1).