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如图,已知点A,点B在第一,三象限的角平分线上,P为直线AB上的一点,PA=PB,AM、BN分别垂直与x轴、y轴,连接PM、PN.(1)求直线AB的解析式;(2)如图1,P、A、B在第三象限,猜想PM,PN之
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如图,已知点A,点B在第一,三象限的角平分线上,P为直线AB上的一点,PA=PB,AM、BN分别垂直与x轴、y轴,连接PM、PN.

(1)求直线AB的解析式;
(2)如图1,P、A、B在第三象限,猜想PM,PN之间的关系,并说明理由;
(3)点P、A在第三象限,点B在第一象限,如图2其他条件不变,(2)中的结论还成立吗,请证明你的结论.

(1)求直线AB的解析式;
(2)如图1,P、A、B在第三象限,猜想PM,PN之间的关系,并说明理由;
(3)点P、A在第三象限,点B在第一象限,如图2其他条件不变,(2)中的结论还成立吗,请证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵点A,点B在第一,三象限的角平分线上,
∴直线AB的解析式是y=x;

(2)PM=PN且PM⊥PN,
理由是:过P作PE⊥x轴于E,PF⊥y轴于F,过A作AQ⊥y轴于Q,
∵A在第一、三象限的角平分线上,PM⊥x轴于M,
∴AM=AQ,∠AMO=90°,∠MOA=45°,
∴∠MAO=∠MOA=45°,
∴OM=AM,
同理OQ=AQ,
∴OM=OQ,
同理OE=OF,PE=PF,
在△MEP和△NFP中
∴△MEP≌△NFP(SAS),
∴PM=PN,∠EPM=∠NPF,
∵PE⊥x轴,PF⊥y轴,x轴⊥y轴,
∴∠EOF=∠OEP=∠OFP=90°,
∴∠EPF=90°,
∴∠MPN=∠MPE+∠EPN=∠FPN+∠EPN=∠EPF=90°,
即PM⊥PN;
(3)成立;

证明:延长BN交AM于E,连接EP,
∵A、B在第一、三象限角的角平分线上,
∴∠MOA=∠BON=45°,
∵∠BNO=∠AMO=90°,
∴∠NBO=∠EAO=∠NOB=45°,
∴AE=BE,BN=ON,
∵∠ENO=∠NOM=∠EMO=90°,
∴四边形EMON是矩形,
∴ME=ON=BN,∠AEB=90°,
∵P为AB中点,AE=BE,
∴∠MEP=∠NBP=45°,EP=PB,∠EPB=90°,
在△EMP和△BNP中
∴△EMP≌△BNP(SAS),
∴PM=PN,∠EPM=∠NPB,
∵∠EPB=90°,
∴∠MPN=∠MPE+∠EPN=∠BPN+∠EPN=∠EPB=90°,
即PM⊥PN.
∴直线AB的解析式是y=x;

(2)PM=PN且PM⊥PN,
理由是:过P作PE⊥x轴于E,PF⊥y轴于F,过A作AQ⊥y轴于Q,
∵A在第一、三象限的角平分线上,PM⊥x轴于M,
∴AM=AQ,∠AMO=90°,∠MOA=45°,
∴∠MAO=∠MOA=45°,
∴OM=AM,
同理OQ=AQ,
∴OM=OQ,
同理OE=OF,PE=PF,
在△MEP和△NFP中
|
∴△MEP≌△NFP(SAS),
∴PM=PN,∠EPM=∠NPF,
∵PE⊥x轴,PF⊥y轴,x轴⊥y轴,
∴∠EOF=∠OEP=∠OFP=90°,
∴∠EPF=90°,
∴∠MPN=∠MPE+∠EPN=∠FPN+∠EPN=∠EPF=90°,
即PM⊥PN;
(3)成立;

证明:延长BN交AM于E,连接EP,
∵A、B在第一、三象限角的角平分线上,
∴∠MOA=∠BON=45°,
∵∠BNO=∠AMO=90°,
∴∠NBO=∠EAO=∠NOB=45°,
∴AE=BE,BN=ON,
∵∠ENO=∠NOM=∠EMO=90°,
∴四边形EMON是矩形,
∴ME=ON=BN,∠AEB=90°,
∵P为AB中点,AE=BE,
∴∠MEP=∠NBP=45°,EP=PB,∠EPB=90°,
在△EMP和△BNP中
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∴△EMP≌△BNP(SAS),
∴PM=PN,∠EPM=∠NPB,
∵∠EPB=90°,
∴∠MPN=∠MPE+∠EPN=∠BPN+∠EPN=∠EPB=90°,
即PM⊥PN.
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