如图，已知点A，点B在第一，三象限的角平分线上，P为直线AB上的一点，PA=PB，AM、BN分别垂直与x轴、y轴，连接PM、PN．（1）求直线AB的解析式；（2）如图1，P、A、B在第三象限，猜想PM，PN之

Question

如图，已知点A，点B在第一，三象限的角平分线上，P为直线AB上的一点，PA=PB，AM、BN分别垂直与x轴、y轴，连接PM、PN．

（1）求直线AB的解析式；
（2）如图1，P、A、B在第三象限，猜想PM，PN之间的关系，并说明理由；
（3）点P、A在第三象限，点B在第一象限，如图2其他条件不变，（2）中的结论还成立吗，请证明你的结论．

Answer 1

（1）∵点A，点B在第一，三象限的角平分线上，
∴直线AB的解析式是y=x；

（2）PM=PN且PM⊥PN，
理由是：过P作PE⊥x轴于E，PF⊥y轴于F，过A作AQ⊥y轴于Q，
∵A在第一、三象限的角平分线上，PM⊥x轴于M，
∴AM=AQ，∠AMO=90°，∠MOA=45°，
∴∠MAO=∠MOA=45°，
∴OM=AM，
同理OQ=AQ，
∴OM=OQ，
同理OE=OF，PE=PF，
在△MEP和△NFP中

ME＝NF

∠MEP＝∠NFP＝90°

PE＝PF

∴△MEP≌△NFP（SAS），
∴PM=PN，∠EPM=∠NPF，
∵PE⊥x轴，PF⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴∠EOF=∠OEP=∠OFP=90°，
∴∠EPF=90°，
∴∠MPN=∠MPE+∠EPN=∠FPN+∠EPN=∠EPF=90°，
即PM⊥PN；
（3）成立；

证明：延长BN交AM于E，连接EP，
∵A、B在第一、三象限角的角平分线上，
∴∠MOA=∠BON=45°，
∵∠BNO=∠AMO=90°，
∴∠NBO=∠EAO=∠NOB=45°，
∴AE=BE，BN=ON，
∵∠ENO=∠NOM=∠EMO=90°，
∴四边形EMON是矩形，
∴ME=ON=BN，∠AEB=90°，
∵P为AB中点，AE=BE，
∴∠MEP=∠NBP=45°，EP=PB，∠EPB=90°，
在△EMP和△BNP中

EP＝BP

∠MEP＝∠NBP

EM＝BN

∴△EMP≌△BNP（SAS），
∴PM=PN，∠EPM=∠NPB，
∵∠EPB=90°，
∴∠MPN=∠MPE+∠EPN=∠BPN+∠EPN=∠EPB=90°，
即PM⊥PN．