如图：已知⊙M经过O点，并且⊙M与x轴，y轴分别交于A，B两点，线段OA，OB（OA＞OB）的长是方程x2-17x+60=0的两根．（1）求线段OA，OB的长；（2）已知点C是劣弧OA的中点，连结BC交OA于D．①求证

Question

如图：已知⊙M经过O点，并且⊙M与x轴，y轴分别交于A，B两点，线段OA，OB（OA＞OB）的长是方程x²-17x+60=0的两根．

（1）求线段OA，OB的长；
（2）已知点C是劣弧OA的中点，连结BC交OA于D．
①求证：OC²=CD•CB；②求点C的坐标；
（3）在（2）的条件下，在⊙M上是否存在一点P，使△POD的面积与△ABD的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）x²-17x+60=0
（x-12）（x-5）=0
x₁=12，x₂=5，
OA=12，OB=5；
（2）①∵点C是劣弧OA的中点，
∴

OC

＝

AC

∴∠OBC=∠DOC，
又∵∠C=∠C，
∴△OCB∽△DCO．
∴(OC)/(BC)＝(CD)/(OC)
即OC²=CD•CB；
②连接MC交OA于点E，根据垂径定理的推论，得ME⊥OA，

根据垂径定理，得OE=6，
∵OA=12，OB=5，∠BOA=90°，
∴AB是⊙M的直径，由勾股定理得AB=13，
根据勾股定理，得ME=√(MO2−ME2)＝√(6．52−62)＝2.5．
∴CE=6.5-2.5=4，
即C（6，-4）；
（3）假定在⊙上存在点P，使S_△ABD=S_△POD，

∵OB∥EC，
∴△OBD∽△ECD，
∴(OB)/(EC)＝(OD)/(ED)，
即(5)/(4)＝(OD)/(6−OD)
解得OD=(10)/(3)，
∴S_△ABD=(1)/(2)AD•BO=(65)/(3)，
∴S_△POD=(65)/(3)，
故可得在△POD中，OD边上的高为13，即点P到x轴的距离为13，
∵⊙上的点到x轴的最大距离为9，
∴点P不在⊙上，
故在⊙上不存在点P，使S_△ABD=S_△POD．