已知函数f（x）=ex-ax-1（a为实数），g（x）=lnx-x．（1）讨论函数f（x）的单调区间；（2）求函数g（x）的极值；（3）证明：ln2222+ln3232+…+lnn2n2＜2n2−n−12(n+1)（n∈N，n≥2）．

Question

已知函数f（x）=e^x-ax-1（a为实数），g（x）=lnx-x．
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）求函数g（x）的极值；
（3）证明：(ln22)/(22)+(ln32)/(32)+…+(lnn2)/(n2)＜(2n2−n−1)/(2(n+1))（n∈N，n≥2）．

Answer 1

由已知，得f′（x）=e^x-a，当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在R上单调递增．
当a＞0时，由f′（x）＞0，可得x＞lna，由f′（x）＜0，可得x＜lna，故函数f（x）在[lna，+∞）上单调递增，在（-∞，lna]上单调递减，
（2）函数g（x）的定义域为（0，+∞），g′（x）=(1)/(x)−1当0＜x＜1，g′（x）＞0，当x＞1，g′（x）＜0，所以g（x）在x=1取得极大值g（1）=-1．
（3）由（2）知g（x）≤g（1）=-1．，即lnx-x≤-1，lnx≤x-1，（x＞0），∵n∈N₊，n≥2，∴lnn²≤n²-1，得到(lnn2)/(n2)≤(n2−1)/(n2)=1−(1)/(n2)
(ln22)/(22)+(ln32)/(32)+…+(lnn2)/(n2)≤（1−(1)/(22)）+（1−(1)/(32)）+…（1−(1)/(n2)）=（n-1）-（(1)/(22)+(1)/(32)+…+(1)/(n2)）＜（n-1）-[(1)/(2×3)+(1)/(3×4)+…+(1)/(n×(n+1))]
=（n-1）-（(1)/(2)−(1)/(3)）+(1)/(3)−(1)/(4)+…+((1)/(n)−(1)/(n+1))]=（n-1