设抛物线y2=4x的焦点为F，过点M（-1，0）的直线在第一象限交抛物线于A，B，且满足AF•BF=0，则直线的斜率为2222．

Question

设抛物线y²=4x的焦点为F，过点M（-1，0）的直线在第一象限交抛物线于A，B，且满足

AF

•

BF

=0，则直线的斜率为

(√(2))/(2)

(√(2))/(2)

．

Answer 1

抛物线y²=4x的焦点F（1，0），直线AB的方程 y-0=k （x+1），k＞0．
代入抛物线y²=4x化简可得 k²x²+（2k²-4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=(−(2k2−4))/(k2)，x₁•x₂=1．
∴y₁+y₂=k（x₁+1）+k（x₂+1）=(−(2k2−4))/(k2)×k+2k=(k)/(4)，
y₁•y₂=k²（x₁+x₂+x₁•x₂+1）=4．
又

AF

•

BF

=（x₁-1，y₁）•（x₂-1，y₂）=x₁•x₂-（x₁+x₂）+1+y₁•y₂=8-(4)/(k2)=0，
∴k=(√(2))/(2)，
故答案为：(√(2))/(2)．