过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作一条斜率大于0的直线l与抛物线交于A、B两点，若在抛物线的准线上存在点P，使△PAB是等边三角形，则直线l的斜率等于2222．

Question

过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作一条斜率大于0的直线l与抛物线交于A、B两点，若在抛物线的准线上存在点P，使△PAB是等边三角形，则直线l的斜率等于

(√(2))/(2)

(√(2))/(2)

．

Answer 1

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l方程为y=k（x-(p)/(2)），AB中点为Q（(1)/(2)（x₁+x₂），(1)/(2)（y₁+y₂））
∵AB是抛物线经过焦点的弦，∴x₁+x₂+p=|AB|，
代入直线方程，可得y₁+y₂=k（x₁-(p)/(2)）+k（x₂-(p)/(2)）=k|AB|-2kp，
因此可得Q（(1)/(2)（|AB|-p），(k)/(2)|AB|-kp）
∵PQ是等边三角形的中线，也是它的高
∴PQ的方程为：y-(1)/(2)（y₁+y₂）=-(1)/(k)[x-(1)/(2)（x₁+x₂）]，
设P（-(p)/(2)，t），代入得：t-(1)/(2)（y₁+y₂）=-(1)/(k)[-(p)/(2)-(1)/(2)（x₁+x₂）]=(1)/(2k)（x₁+x₂+p），
∴t=(1)/(2)（y₁+y₂）+(1)/(2k)（x₁+x₂+p）=(k)/(2)|AB|+(1)/(2k)|AB|-kp，
得P（-(p)/(2)，(k)/(2)|AB|+(1)/(2k)|AB|-kp），
∴|PQ|=√([−(p)/(2)−(1)/(2)(|AB|−p)]2+[((k)/(2)|AB|+(1)/(2k)|AB|−kp)−((k)/(2)|AB|−kp)]2)=(1)/(2)√(1+(1)/(k2))|AB|
又PQ=(√(3))/(2)|AB|，即(1)/(2)√(1+(1)/(k2))|AB|=(√(3))/(2)|AB|，可得k²=(1)/(2)
∵直线l的斜率k大于0，∴k=(√(2))/(2)
故答案为：(√(2))/(2)