如图,在平面直角坐标系中Rt△AOB的顶角坐标分别为A（-2,0）,O（0,0）,B（0,4）,把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD（1）求CD的长（2）如果点P在x轴上，且三角形PCD为等腰三角形求点P

Question

如图,在平面直角坐标系中Rt△AOB的顶角坐标分别为A（-2,0）,O（0,0）,B（0,4）,把△AOB绕点O按顺时
针方向旋转90°，得到△COD
（1）求CD的长
（2）如果点P在x轴上，且三角形PCD为等腰三角形 求点P的坐标
（3）如果过点M(1，0)作垂直于x轴的直线l，在直线l上取两点E，F（点E在点F的上方），且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，请直接写出点E的坐标及周长的最小值（要过程）

Answer 1

1、△AOB≌△COD
∴AB=CD
∵OA=2,OB=4
∴AB=√(2²+4²)=2√5
∴CD=2√5
2、∵△PCD是等腰三角形
∴可能：CD=PC
即OC⊥PD
∴OP=OD=OB=4
即P坐标（-4,0）
（2）可能CD=PD=2√5
∴OP=OD+PD=4+2√5
∴P坐标（4+2√5,0）
3、只需求AF+CE最短,
EF在x=1上,
将点A向上平移至A1（-2,1）,则AF=A1E,
作A1关于对称轴x=1的对称点A2（4,1）,
连接A2C,A2C与对称轴交于点E,E为所求,
可求得A2C的解析式为y=-1/4 x+2,
当x=1时,y=7/4 ,
∴点E的坐标为(1,7/4 ),点F的坐标为(1,3/4 )
∵C坐标（0,2）
∴CE=√(2-1)²+(0-7/4)²=√65/4
AF=√(-2-1)²+(0-3/4)²=3√17/4
AC=2√2
∴周长=2√2+1+√65/4+3√17/4