已知三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)在坐标平面上求点P,使AP^2+BP^2+CP^2的值最小

Question

已知三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3) 在坐标平面上求点P,使AP^2+BP
^2+CP^2的值最小

Answer 1

设P点（p,q）
D=AP^2+BP^2+CP^2=（p-x1）²+（q-y1）²+（p-x2）²+（q-y2）²+（p-x3）²+（q-y3）²=min,
解法一、
D对p和q求偏导数,设其为0,即可求出p,q值,结合实际情况,即可判断在该点是否是D的最小值.
偏D/偏p=2（p-x1）+2（p-x2）+2（p-x3）=2[3p-(x1+x2+x3）]=0,则p=(x1+x2+x3）/3
偏D/偏p=2（q-y1）+2（q-y2）+2（q-y3）=0,求出q=(y1+y2+y3）/3
P点是（(x1+x2+x3）/3,(y1+y2+y3）/3).
解法二、
D=AP^2+BP^2+CP^2=（p-x1）²+（q-y1）²+（p-x2）²+（q-y2）²+（p-x3）²+（q-y3）²=3p²+3q²+（x1²+x2²+x3²+y1²+y2²+y3²）-2p(x1+x2+x3)-2q(y1+y2+y3),要D最小,因为（x1²+x2²+x3²+y1²+y2²+y3²）是常数,只需3p²+3q²-2p(x1+x2+x3)-2q(y1+y2+y3)最小.
根据相关理论,当p=(x1+x2+x3）/3,q=(y1+y2+y3）/3时,D最小.