如图,等边三角形ABC内接于圆O,P是弧AB上任意一点,连接AP,BP,过点C作CM平行BP交PA的延长线于点M

Question

如图,等边三角形ABC内接于圆O,P是弧AB上任意一点,连接AP,BP,过点C作CM平行BP交PA的延长线于点M

Answer 1

：证明：因为△ABC是正三角形
所以 弧AC 对应 ∠MPC和 ∠ABC相等,所以∠MPC=60度
同理 ∠BPC=∠BAC=60度
因为 PB//CM 所以 ∠PCM=∠BPC=60度
这样在△PCM中,∠MPC=∠PCM=60度
因此△PCM是正三角形
2：两个等边三角形,则MC=PC,AC=BC
又 ∠ACM+∠ACP=60度=∠ACP+∠PCB
所以∠ACM=∠PCB
因此 △MAC≌△BPC
所以 AM=PB=2
所以 PM=MC=PC=3
因为 ∠APB=120（对应120圆弧）
PA=1 PB=2
所以AB=√（1+2x2+2x1x2x1/2）=√7
S梯形PBCM=S△BPC+S△MPC
=1/2BPxPCsin60+1/2MPxPCsin60
=1/2x2x3x√3/2+1/2x3x3x√3/2
=3x√3/2+9√3/4
=15√3/4