几何关于正三角形的问题有一任意三角形ABC,分别以每边向外各做一正三角形,再分别连接这三个正三角形的中心得到一个新的三角形A'B'C',求证这个新的三角形A'B'C'也是正三角形.

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几何关于正三角形的问题
有一任意三角形ABC,分别以每边向外各做一正三角形,再分别连接这三个正三角形的中心得到一个新的三角形A'B'C',求证这个新的三角形A'B'C'也是正三角形.

▼优质解答

答案和解析

若三个正三角形分别是BCD(以A'为中心),ACE(以B'为中心),ABF(以C'为中心),连接A'B,A'C,B'A,B'C,C'A,C'B,这样得到一个六边形(当ABC有一个角是120度时六边形退化成五边形,当ABC的最大角大于120度时是凹六边形),下面只对凸的情形进行分析,其余情形类似.
将AB'C'绕B'旋转到CB'M,使得AB'旋转到和CB'重合的位置,连接A'M,考察六边形的内角和(其中有三个是120度角)即知/_A'CM=/_A'BC',从而A'CM和A'BC'全等,然后就得到B'A'平分/_C'B'M,从而/_C'B'A'=60度,同理可推出另外两个角也是60度.

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