如图,在三角形ABC中,AB=AC=2,点P在BC上.若点P为BC的中点,则m=AP^2+BP*CP.若BC边上有100个不同的点P1、P2••••••P100,且mi=AP^2+BPi*CPi(I=1,2,3••••••100）,则m

Question

如图,在三角形ABC中,AB=AC=2,点P在BC上.若点P为BC的中点,则m=AP^2+BP*CP.若BC边上有100个不同的点P1、P2••••••P100,且mi=AP^2+BPi*CPi(I=1,2,3••••••100）,则m=m1+m2+m3+••••••m100的值为___

Answer 1

（1）∵AB=AC,P是BC的中点,∴AP⊥BC
∴AB2-AP2=BP2=BP•CP；（3分）
（2）如图所示：
成立,过点A作AD⊥BC于D,∵AB=AC,∴BD=CD
在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2①
在Rt△APD中,AP2=AD2+PD2②
①-②得：AB2-AP2=BD2-PD2=（BD+PD）（BD-PD）=PC•BP；
（3）如图所示：
如右图,P是BC延长线任一点,连接AP,并做AD⊥BC,交BC于D,
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴BD=CD,
在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,
在Rt△ADP中,AP2=AD2+DP2,
∴AP2-AB2=（AD2+BD2）-（AD2+DP2）=PD2-BD2,
又∵BP=BD+DP,CP=DP-CD=DP-BD,
∴BP•CP=（BD+DP）（DP-BD）=DP2-BD2,
∴AP2-AB2=BP•CP．
结论：AP2-AB2=BP•CP．