如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB⊥BP，M、N分别为AC、PD的中点．求证：（1）MN∥平面ABP；（2）平面ABP⊥平面APC的充要条件是BP⊥PC．

Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，AB⊥BP，M、N分别为AC、PD的中点．
求证：
（1）MN∥平面ABP；
（2）平面ABP⊥平面APC的充要条件是BP⊥PC．

Answer 1

证明：（1）连接BD，由于四边形ABCD为矩形，
则BD必过点M．（1分）
又点N是PD的中点，则MN∥BP，（2分）
∵MN⊄面ABP，BP⊂面ABP，
∴MN∥平面ABP．（4分）
（2）充分性：由“BP⊥PC”⇒“平面ABP⊥平面APC”，
∵AB⊥BP，AB⊥BC，BP⊂面PBC，BC⊂面PBC，BP∩BC=B，
∴AB⊥面PBC，（6分）
∵PC⊂面PBC，∴AB⊥PC，（7分）
又∵PC⊥BP，AB，BP是面ABP内两条相交直线，
∴PC⊥面ABP，PC⊂面APC，（9分）
∴面ABP⊥面APC．（10分）
必要性：由“平面ABP⊥平面APC”⇒“BP⊥PC．”
过B作BH⊥AP于H，
∵平面ABP⊥平面APC，面ABP∩面APC=AP，
BH⊂面ABP，∴BH⊥面APC．（12分）
∵AB⊥PC，
∴PC⊥面ABP，PC⊥PB．
故平面ABP⊥平面APC的充要条件是BP⊥PC．（14分）