数学分析中一致连续性问题设函数f在区间[a,+∞)上满足Lipschitz条件,其中a＞0.证明：f(x)/x在[a,+∞)上一致连续.

Question

数学分析中一致连续性问题
设函数 f 在区间[a,+∞)上满足Lipschitz条件,其中a＞0.证明：f(x)/x 在[a,+∞)上一致连续.

Answer 1

证明：
先具体说一下Lipschitz条件（我没学过,才从网上查到的,
利普希茨连续条件（Lipschitz continuity)的定义：若存在常数K（非负）,使得对定义域D的任意两个不同的实数x1、x2均有：∣f(x1)-f(x2)∣≤K∣x1-x2∣成立,则称f(x)在D上满足利普希茨条件.
下面证明原命题.
分两步.
第一步,首先证明函数f(x)/x在任何闭区间[a,b]上一致连续.
为此我们又先证明函数f(x)在任何闭区间[a,b]上一致连续.
对任给的ε＞0,我们说当x1,x2∈[a,b],且∣x1-x2∣＜ε/K时,必有
∣f(x1)-f(x2)∣≤K∣x1-x2∣＜ε
这便证明了函数f(x)在闭区间[a,b]上一致连续,当然函数f(x)在闭区间[a,b]上连续.
从而它和闭区间[a,b]上的连续函数y=1/x的积f(x)/x也在闭区间[a,b]上连续,
所以函数f(x)/x在闭区间[a,b]上一致连续.
第二步,我们证明若区间[c,+∞)中的c足够大时,函数f(x)/x在区间[c,+∞)上一致连续.
因为对于x∈[a,+∞),有
∣f(x)∣-∣f(a)∣≤∣f(x)-f(a)∣≤K∣x-a∣
从而有
∣f(x)∣≤∣f(a)∣+K∣x-a∣
设x1,x2∈[c,+∞)
现在我们先把∣x1-x2∣取得小于1,即∣x1-x2∣＜1；把c取得大于1,即c＞1,又设ε为任一正数,
则我们有,当c＞max{1,3∣f(a)∣/ε}=η1时,
∣x1-x2∣∣f(a)∣/x1x2
＜∣f(a)∣/x1x2＜∣f(a)∣/x1≤∣f(a)∣/c＜ε/3 ①
当c＞max{1,3K/ε}=η2时,有
K∣x2-x1∣∣x1-a∣/x1x2
＜K∣x1-a∣/x1x2
＜K/x2≤K/c＜ε/3 ②
还有
∣f(x1)-f(x2)∣/x2≤K∣x1-x2∣/x2＜K/x2≤K/c＜ε/3 ③
令η=max{η1,η2},并取c＞η
则对任给的ε＞0,当∣x1-x2∣＜1时,
∣f(x1)/x1 -f(x2)/x2∣
=∣[x2f(x1)-x1f(x2)]/x1x2∣
=∣[x2f(x1)-x1f(x1)]+[x1f(x1)-x1f(x2)]∣/x1x2
≤(∣x2f(x1)-x1f(x1)∣+∣x1f(x1)-x1f(x2)∣)/x1x2
=∣x2-x1∣∣f(x1)∣/x1x2 +x1∣f(x1)-f(x2)∣/x1x2
=∣x2-x1∣∣f(x1)∣/x1x2 +∣f(x1)-f(x2)∣/x2
≤∣x2-x1∣(∣f(a)∣+K∣x1-a∣)/x1x2 +∣f(x1)-f(x2)∣/x2
=∣x1-x2∣∣f(a)∣/x1x2
+K∣x2-x1∣∣x1-a∣/x1x2
+∣f(x1)-f(x2)∣/x2
＜ε/3 +ε/3 +ε/3=ε
这便证明了函数f(x)/x在区间[c,+∞)上一致连续.
最后,我们取b=c+2,便有函数f(x)/x在闭区间[a,c+2]上一致连续,我们设对上面所任给的ε＞0,存在θ＞0,使当x1,x2∈[a,c+2],且∣x1-x2∣＜θ时,
∣f(x1)/x1 -f(x2)/x2∣＜ε
现取ξ=min{1,θ},则有对任给的ε＞0,当∣x1-x2∣＜ξ时,
函数f(x)/x在闭区间[a,c+2]上一致连续,也在区间[c,+∞)上一致连续.
并且当∣x1-x2∣＜ξ＜1时,
必有x1,x2或同属于闭区间[a,c+2],或同属于区间[c,+∞).
这是因为若设x1＜x2
当x2∈[a,c+2],当然有x1∈[a,c+2]；
当x2不属于[a,c+2]时,必有x2＞c+2,此时x1＞x2- 1＞c+2-1=c+1
这便说明x1,x2同是属于[c,+∞).
这样,我们便证明了函数f(x)/x在在[a,+∞)上一致连续.
证完.