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如图，设P是等边△ABC的一边BC上的任意一点，连接AP，它的垂直平分线交AB、AC于M、N两点，求证：BP•PC=BM•CN．
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如图，设P是等边△ABC的一边BC上的任意一点，连接AP，它的垂直平分线交AB、AC于M、N两点，求证：BP•PC=BM•CN．
▼优质解答
答案和解析
证明：连接PM，PN，
∵MN垂直平分AP，
∴AM=MP，AN=PN，又MN为公共边，
∴△AMN≌△PMN（SSS），
∴∠MPN=∠BAC=60°，
∵∠BPM+∠CPN=120°，∠BPM+∠BMP=120°，
∴∠BMP=∠CPN，
由∠B=∠C=60°，
∴△MPB∽△PNC，
∴
=
，
即BP•PC=BM•NC．
证明：连接PM，PN，∵MN垂直平分AP，
∴AM=MP，AN=PN，又MN为公共边，
∴△AMN≌△PMN（SSS），
∴∠MPN=∠BAC=60°，
∵∠BPM+∠CPN=120°，∠BPM+∠BMP=120°，
∴∠BMP=∠CPN，
由∠B=∠C=60°，
∴△MPB∽△PNC，
∴
| BP |
| NC |
| BM |
| PC |
即BP•PC=BM•NC．
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