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设矩阵Am×n的秩为R(A)=m<n,Em为m阶单位矩阵,下列结论中正确的是()A.A的任意m个列向量必线性无关B.A的任意m阶子式不等于零C.A通过初等行变换,比可以化为(Em,0)的形式D.
题目详情
设矩阵Am×n的秩为R(A)=m<n,Em为m阶单位矩阵,下列结论中正确的是( )
A.A的任意m个列向量必线性无关
B.A的任意m阶子式不等于零
C.A通过初等行变换,比可以化为(Em,0)的形式
D.非齐次线性方程Ax=b一定有无穷多组解
A.A的任意m个列向量必线性无关
B.A的任意m阶子式不等于零
C.A通过初等行变换,比可以化为(Em,0)的形式
D.非齐次线性方程Ax=b一定有无穷多组解
▼优质解答
答案和解析
倘若取A3×4=
,则r(A)=3<4符合题目条件:
(1)对于选项A
易知,一、二、四列三个列向量是线性相关的,
故选项A错误;
(2)对于选项B
易知,一、二、四列三个列向量所构成的三阶子式等于0,
故选项B错误;
(3)对于选项C
易知,阵A无法通过初等行变换化成(E3,0)的形式,还必须经过初等列变换,
故选项C错误;
(4)对于选项D
由于矩阵Am×n的秩为R(A)=m<n,
因而在A的每个行向量添加一个分量后得到矩阵(A:b),
其秩不改变,即:r(A)=r(A:b)=m<n,
因此,非齐次线性方程Ax=b一定有无穷多组解,
故选项D正确;
故选:D.
倘若取A3×4=
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(1)对于选项A
易知,一、二、四列三个列向量是线性相关的,
故选项A错误;
(2)对于选项B
易知,一、二、四列三个列向量所构成的三阶子式等于0,
故选项B错误;
(3)对于选项C
易知,阵A无法通过初等行变换化成(E3,0)的形式,还必须经过初等列变换,
故选项C错误;
(4)对于选项D
由于矩阵Am×n的秩为R(A)=m<n,
因而在A的每个行向量添加一个分量后得到矩阵(A:b),
其秩不改变,即:r(A)=r(A:b)=m<n,
因此,非齐次线性方程Ax=b一定有无穷多组解,
故选项D正确;
故选:D.
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