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设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若数列{an}是等差数列,且a3<0,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)的值()A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正
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设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)单调递减,若数列{an}是等差数列,且a3<0,则f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)的值( )
A. 恒为正数
B. 恒为负数
C. 恒为0
D. 可正可负
A. 恒为正数
B. 恒为负数
C. 恒为0
D. 可正可负
▼优质解答
答案和解析
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数,
且当x≥0时,f(x)单调递减,
数列{an}是等差数列,且a3<0,
∴a2+a4=2a3<0,则a2<-a4,
a1+a5=2a3<0,则a1<-a5,
又由x≥0,f(x)单调递减,
所以在R上,f(x)都单调递减,
若a2<-a4,则f(a2)>f(-a4)=-f(a4),必有f(a2)+f(a4)>0.①
同理f(a1)+f(a5)>0,②,
因为f(0)=0,
所以x≥0时,f(x)<0,x<0时,f(x)>0,
∴f(a3)>0③
综合①、②、③可得f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)>0,
故选A.
且当x≥0时,f(x)单调递减,
数列{an}是等差数列,且a3<0,
∴a2+a4=2a3<0,则a2<-a4,
a1+a5=2a3<0,则a1<-a5,
又由x≥0,f(x)单调递减,
所以在R上,f(x)都单调递减,
若a2<-a4,则f(a2)>f(-a4)=-f(a4),必有f(a2)+f(a4)>0.①
同理f(a1)+f(a5)>0,②,
因为f(0)=0,
所以x≥0时,f(x)<0,x<0时,f(x)>0,
∴f(a3)>0③
综合①、②、③可得f(a1)+f(a2)+f(a3)+f(a4)+f(a5)>0,
故选A.
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