设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）单调递减，若数列{an}是等差数列，且a3＜0，则f（a1）+f（a2）+f（a3）+f（a4）+f（a5）的值（）A.恒为正数B.恒为负数C.恒为0D.可正

Question

设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）单调递减，若数列{a_n}是等差数列，且a₃＜0，则f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）+f（a₅）的值（　　）
A. 恒为正数
B. 恒为负数
C. 恒为0
D. 可正可负

Answer 1

∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
且当x≥0时，f（x）单调递减，
数列{a_n}是等差数列，且a₃＜0，
∴a₂+a₄=2a₃＜0，则a₂＜-a₄，
a₁+a₅=2a₃＜0，则a₁＜-a₅，
又由x≥0，f（x）单调递减，
所以在R上，f（x）都单调递减，
若a₂＜-a₄，则f（a₂）＞f（-a₄）=-f（a₄），必有f（a₂）+f（a₄）＞0．①
同理f（a₁）+f（a₅）＞0，②，
因为f（0）=0，
所以x≥0时，f（x）＜0，x＜0时，f（x）＞0，
∴f（a₃）＞0③
综合①、②、③可得f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）+f（a₅）＞0，
故选A．