已知数列{an}是公差为2的等差数列，它的前n项和为Sn，且a1+1，a3+1，a7+1成等比数列．（1）求{an}的通项公式；（2）记数列{1Sn}的前n项和为Tn求证：Tn＜34．

Question

已知数列{a_n}是公差为2的等差数列，它的前n项和为S_n，且a₁+1，a₃+1，a₇+1成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）记数列{(1)/(Sn)}的前n项和为T_n求证：T_n＜(3)/(4)．

Answer 1

（1）数列{a_n}是公差为2的等差数列，
∴a₃=a₁+5，a₇=a₁+13
∵a₁+1，a₃+1，a₇+1成成等比数列，
∴(a1+5)2＝(a1+1)(a1+13)      …（3分）
解之得a₁=3，
所以a_n=2n+1…（6分）
（2）证明：由（1）得a_n=2n+1，s_n=n（n+2）
∴(1)/(sn)＝(1)/(2)((1)/(n)−(1)/(n+2))，…（9分）
∴T_n=(1)/(2)（1-(1)/(3)+(1)/(2)−(1)/(4)+(1)/(3)−(1)/(5)+…+(1)/(n)−(1)/(n+2)）
=(1)/(2)(1+(1)/(2)−(1)/(n+1)−(1)/(n+2))＜(3)/(4)…（13分）