已知数列{an}和{bn}满足a1=2，2an=1+anan+1，bn=an-1．（1）求证：数列{1bn}为等差数列，并求数列{an}通项公式；（2）数列{bn}的前n项和为Sn，令Tn=S2n-Sn，求Tn的最小值．

Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=2，2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1．
（1）求证：数列{(1)/(bn)}为等差数列，并求数列{a_n}通项公式；
（2）数列{b_n}的前n项和为S_n，令T_n=S_2n-S_n，求T_n的最小值．

Answer 1

（1）2a_n=1+a_na_n+1，b_n=a_n-1，
∴b_n-b_n+1=b_nb_n+1，
∴(1)/(bn+1)−(1)/(bn)＝1，
∴数列{(1)/(bn)}是公差为1，首项为1等差数列，
∴(1)/(bn)＝n，即bn＝(1)/(n)，
∴an＝(1)/(n)+1，即bn＝(1)/(n)．
（2）T_n=S_2n-S_n=(1)/(n+1)+(1)/(n+2)+…+(1)/(2n)，
∵Tn+1−Tn＝(1)/(2n+1)+(1)/(2n+2)−(1)/(n+1)＞0
∴{T_n}单调递增                   
∴Tn≥T1＝(1)/(2)，
∴T_n的最小值为(1)/(2)．