不动点的疑问这是一个利用不定点来解答问题的部分过程：A(n+2)+A(n+1)-2An＝0令X^2+X-2=0解得X=-2或1所以｛A(n+1)-An｝为公比-2的数列；｛A(n+1)+2An｝为公比1的数列”我的疑问：①不动点不是设

Question

不动点的疑问
这是一个利用不定点来解答问题的部分过程：
A(n+2)+A(n+1)-2An＝0
令 X^2+X-2=0 解得X=-2 或 1 所以｛A(n+1)-An｝为公比-2的数列；｛A(n+1)+2An｝为公比1的数列”
我的疑问：
①不动点不是设一个函数f(x)使f(x)=x吗?上面的解答过程貌似没有体现不动点的解法吧?
②“｛A(n+1)-An｝为公比-2的数列；｛A(n+1)+2An｝为公比1的数列”是怎么来的?
③为什么要令“X^2+X-2=0”?我意思是,为什么A（n+2）要设成x²,A（n+1）要设成x,而又令An=1?我能不能设这样一个函数x^3+x²-2x=0?虽然化简后还是X^2+X-2=0,但是这样就多了一个根.

Answer 1

这道题运用了特征方程的解法,原理如下：
对于任意数列A(n+2)+a*A(n+1)+b*An=0
假设有r、k满足
A(n+2)-r*A(n+1)=k*[A(n+1)-r*A(n)]…………（1）
则我们可以把A(n+1)-r*A(n)看做一个公比为k的数列.
利用待定系数法展开（1）,与原式比较可得
r+k=-a
r*k=b
利用伟达定理可知r、k为方程x^2+ax+b=0的解.
这就是这题的解题原理.
我只是给出了特征方程的一种初等导出方法,如果你学了高等数学,就会知道特征方程也是可以根据不动点理论导出的.