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已知sinx、siny、sinz成严格递增的等差数列.求证：cosx、cosy、cosz不能组成等差数列.
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已知sinx、siny、sinz成严格递增的等差数列.求证：cosx、cosy、cosz不能组成等差数列.
▼优质解答
答案和解析
用反证法.
证：
假设cosx,cosy,cosz成等差数列,则
2cosy=cosx+cosz (1)
由已知sinx,siny,sinz成等差数列,得
2siny=sinx+sinz (2)
(1)²+(2)²
4cos²y+4sin²y=(cosx+cosz)²+(sinx+sinz)²
cos²x+sin²x+cos²z+sin²z+2cosxcosz+2sinxsinz=4cos²y+4sin²y
2+2(cosxcosz+sinxsinz)=4
cosxcosz+sinxsinz=1
cos(x-z)=1
x=2kπ+z (k∈Z)
sinx=sinz
而由已知sinx,siny,sinz递增,即sinz>sinx,现sinx=sinz与已知矛盾,因此假设不成立.
cosx,cosy,cosz不成等差数列.
证：
假设cosx,cosy,cosz成等差数列,则
2cosy=cosx+cosz (1)
由已知sinx,siny,sinz成等差数列,得
2siny=sinx+sinz (2)
(1)²+(2)²
4cos²y+4sin²y=(cosx+cosz)²+(sinx+sinz)²
cos²x+sin²x+cos²z+sin²z+2cosxcosz+2sinxsinz=4cos²y+4sin²y
2+2(cosxcosz+sinxsinz)=4
cosxcosz+sinxsinz=1
cos(x-z)=1
x=2kπ+z (k∈Z)
sinx=sinz
而由已知sinx,siny,sinz递增,即sinz>sinx,现sinx=sinz与已知矛盾,因此假设不成立.
cosx,cosy,cosz不成等差数列.
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