1.如何证明初等方阵的逆矩阵也是初等方阵2.如何证明P(i,j)-1=P(i,j)P(i(k))-1=P(i,(1/k))p(i(k),j)-1=p(i(-k),j)

Question

1.如何证明初等方阵的逆矩阵也是初等方阵
2.如何证明P(i,j)-1=P(i,j) P(i(k))-1=P(i,(1/k)) p(i(k),j)-1=p(i(-k),j)

Answer 1

第i行的元素与第j行的元素对换后,要使它变成单位矩阵,只要再把第i行的元素与第j行的元素对换就变成之前的单位阵了.即P(i,j)×P(i,j)=E,即P(i,j)-1=P(i,j).
第i行的元素×k后,要使它变成之前的单位阵,只需把它与原来第i行的元素×1/k的矩阵相乘.即P(i(k))×P(i,(1/k) = E 即P(i(k))-1=P(i,(1/k)).
同理p(i(k),j)-1=p(i(-k),j)
只要做一次矩阵相乘就可得到以上结论.自己做