关于n阶行列式证明：行列式的任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于0,即ai1Aj1+ai2Aj2+……ainAjn=0,i不等于j书上的证明是把D的第j行元素换成第i行元素得到新

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关于n阶行列式
证明：行列式的任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于0,即ai1Aj1+ai2Aj2+……ainAjn=0,i不等于j
书上的证明是把D的第j行元素换成第i行元素得到新的行列式,因为此行列式中有两行相同,故D=0；我想问的是,D的第j行元素换成第i行元素原行列式不就变了么?怎么还能证明呢?

▼优质解答

答案和解析

这个其实只是考察余子式的定义
n阶行列式D的某一元素aij的余子式Mij指的是：
在D中划去aij所在的行和列后所余下的n-1阶子式
可见,余子式其实与aij所在的行和列完全无关的!（这十分重要的）
对于：ai1Aj1+ai2Aj2+……ainAjn
我们就可以利用构造,构造出一个行列式D,其中D的第i行与第j行相等
因此,第i行的代数余子式与第j行的代数余子式其实是相同的
因而,很容易得出上面的结论
有不懂欢迎追问

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