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已知等差数列{an}的公差为2,其前n项和Sn=pn2+2n(n∈N*).(I)求p的值及an;(II)若,记数列{bn}的前n项和为Tn,求使成立的最小正整数n的值.
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已知等差数列{an}的公差为2,其前n项和Sn=pn2+2n(n∈N*).
(I)求p的值及an;
(II)若
,记数列{bn}的前n项和为Tn,求使
成立的最小正整数n的值.
(I)求p的值及an;
(II)若


▼优质解答
答案和解析
(I)法一:由“等差数列{an}和前n项和Sn=pn2+2n”,根据等差数列的求和公式
,应用对应系数相等的方法求得p的值,令n=1求得a1,进而求得an;
法二:由Sn=pn2+2n,分别令n=1,2,求得a1,a2,再根据等差数列的定义求得p,an
法三:由Sn=pn2+2n,根据
,求得an,再根据等差数列的定义求得p;
(II)由(I)求得的an求出bn,利用裂项求和方法求出数列{bn}的前n项和为Tn,解不等式求得最小的正整数n.
【解析】
(I)(法一)∵{an}的等差数列∴
又由已知Sn=pn2+2n,
∴p=1,a1-1=2,
∴a1=3,
∴an=a1(n-1)d=2n+1
∴p=1,an=2n+1;
(法二)由已知a1=S1=p+2,S2=4p+4,即a1+a2=4p+4,
∴a2=3p+2,
又此等差数列的公差为2,
∴a2-a1=2,
∴2p=2,
∴p=1,
∴a1=p+2=3,
∴an=a1+(n-1)d=2n+1,
∴p=1,an=2n+1;
(法三)由已知a1=S1=p+2,
∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn2+2n-[p(n-1)2+2(n-1)]=2pn-p+2
∴a2=3p+2,
由已知a2-a1=2,
∴2p=2,
∴p=1,
∴a1=p+2=3,
∴an=a1+(n-1)d=2n+1,
∴p=1,an=2n+1;
(II)由(I)知
∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=
=
∵
∴
,解得
又∵n∈N+
∴n=5

法二:由Sn=pn2+2n,分别令n=1,2,求得a1,a2,再根据等差数列的定义求得p,an
法三:由Sn=pn2+2n,根据

(II)由(I)求得的an求出bn,利用裂项求和方法求出数列{bn}的前n项和为Tn,解不等式求得最小的正整数n.
【解析】
(I)(法一)∵{an}的等差数列∴

又由已知Sn=pn2+2n,
∴p=1,a1-1=2,
∴a1=3,
∴an=a1(n-1)d=2n+1
∴p=1,an=2n+1;
(法二)由已知a1=S1=p+2,S2=4p+4,即a1+a2=4p+4,
∴a2=3p+2,
又此等差数列的公差为2,
∴a2-a1=2,
∴2p=2,
∴p=1,
∴a1=p+2=3,
∴an=a1+(n-1)d=2n+1,
∴p=1,an=2n+1;
(法三)由已知a1=S1=p+2,
∴当n≥2时,an=Sn-Sn-1=pn2+2n-[p(n-1)2+2(n-1)]=2pn-p+2
∴a2=3p+2,
由已知a2-a1=2,
∴2p=2,
∴p=1,
∴a1=p+2=3,
∴an=a1+(n-1)d=2n+1,
∴p=1,an=2n+1;
(II)由(I)知

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn=


∵

∴


∴n=5
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