已知正项数列an中的前n项和为sn,且满足an^2+an-2sn=0(1)设bn=2^n*an,求数列{bn}的前n项和Tn（2）若1/S1+1/S2+…+1/Sn≤x^2+2ax+3对任意正整数n和任意x∈[0,1]恒成立,求实数a的取值范围

Question

已知正项数列an中的前n项和为sn,且满足an^2+an-2sn=0
(1)设bn=2^n*an,求数列{bn}的前n项和Tn
（2）若1/S1+1/S2+…+1/Sn≤x^2+2ax+3对任意正整数n和任意x∈[0,1]恒成立,求实数a的取值范围

Answer 1

a1=s1,所以a1²+a1-2a1=0得a1=1或a1=0
因为an是正项数列,所以a1=1
当n≥2时an²+an=2sn,a（n-1）²+a（n-1）=2s（n-1）,an=sn-s（n-1）
所以an²+an-a（n-1）²-a（n-1）=2an
得[an-a（n-1）-1][an+a（n-1）]=0
因为an为正数列,所以只能是an-a（n-1）-1=0
得an为等差数列,公差为1,首相为1
于是an=n
bn=n*2^n
Tn=2+2*2²+3*2³++++++n*2^n,①
2Tn=2²+2*2³+3*2^4++++++n*2^（n+1）,②
①-②得-Tn=2+2²+2³+++++2^n-n*2^（n+1）
Tn=（n-1）*2^（n+1）+2
（2）sn=n（n+1）/2
1/sn=2/n（n+1）=2[1/n-1/（n+1）]
于是1/s1+1/s2+++++1/sn=2[1/1-1/2+1/2-1/3+++++++1/n-1/（n+1）]
=2[1-1/（n+1）]＜2
于是2≤x²+2ax+3在x∈[0,1]恒成立
x²+2ax+1≥0,因为x＞0
同除以x,得x+2a+（1/x）≥0
即2a≥-[x+（1/x）],x∈[0,1]
右边最大值为-2【均值不等式可知】
于是a≥-1