设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn+1=Sn+4（n∈N*），a1=2（1）证明：数列{an}是等比数列；（2）设bn=an2，{bn}的前n项和为Tn，试比较Sn2Tn与3的大小；（3）证明：不存在正整数n和大于4的正整数m使

Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知2S_n+1=S_n+4（n∈N^*），a₁=2
（1）证明：数列{a_n}是等比数列；
（2）设b_n=a_n²，{b_n}的前n项和为T_n，试比较(Sn2)/(Tn)与3的大小；
（3）证明：不存在正整数n和大于4的正整数m使得等式a_m+1=(Sn+1−m)/(Sn−m)成立．

Answer 1

（1）证明：∵2S_n+1=S_n+4，∴2S_n=S_n-1+4（n≥2），
相减得，2a_n+1=a_n，即(an+1)/(an)=(1)/(2)（n≥2），
由2S₂=S₁+4得a₂=1，则a₃=(1)/(2)，即(a2)/(a1)＝(1)/(2)，
∴{a_n}是以2为首项，(1)/(2)为公比的等比数列；
（2）∵a_n=（(1)/(2)）^n-2，S_n=(2(1−((1)/(2))n))/(1−(1)/(2))即S_n=4（1-（(1)/(2)）ⁿ），
b_n=（(1)/(4)）^n-2，T_n=(16)/(3)（1-（(1)/(4)）ⁿ），
令p=（(1)/(2)）ⁿ＞0，(Sn2)/(Tn)=(16(1−p)2)/((16)/(3)(1−p2))=3×(1−p)/(1+p)=3（-1+(2)/(1+p)）
当n→+∞时，p→0，(Sn2)/(Tn)→3，
∴(Sn2)/(Tn)＜3；
（3）证明：若存在正整数n和大于4的正整数m使得等式a_m+1=

作业帮用户 2017-09-19

问题解析

（1）将n换成n-1，两式相减得2a_n+1=a_n，求出a₂，a₃，运用等比数列的定义，即可证明；
（2）分别求出a_n，b_n，S_n，T_n，令p=（

(1)/(2)）ⁿ＞0则(Sn2)/(Tn)=3（-1+(2)/(1+p)），即可比较(Sn2)/(Tn)与3的大小；
（3）运用反证法证明，求出a_m，得到S_n-m=(an+1)/(am)，运用（2）的结论，化简得到（4-m）2ⁿ=4+2^m-1，对等式的左右两边分析，即可得证．

名师点评

本题考点：

数列的求和；等比数列的性质．

考点点评：

本题主要考查等比数列的通项和求和，注意运用an与Sn的关系式，同时考查反证法的运用，注意推出矛盾，本题属于中档题．

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